Come risolvere le equazioni di primo grado

Come risolvere le equazioni di primo grado

1) Equazioni di primo grado numeriche intere

Le equazioni numeriche intere di primo grado sono le equazioni nelle quali l'incognita non compare a denominatore.
Il procedimento da seguire è il seguente:

Si eliminano eventuali denominatori e si eseguono i calcoli presenti
Si spostano a primo membro i termini contenenti l'incognita e a secondo membro i termini noti (numeri)
Si riducono i termini simili del primo membro e si effettuano i calcoli nel secondo membro, scrivendo l'equazione nella forma:

ax = b

A questo punto si possono presentarsi 3 casi:

L'equazione è determinata. Se a è diverso da zero basta applicare il secondo principio di equivalenza, come visto sopra, e si ottiene ;
L'equazione è indeterminata. Se sia a che b sono uguali a zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = 0 che è vera per qualsiasi valore attribuito all'incognita x, perché qualunque numero moltiplicato per zero dà zero. Quindi si ha a che fare con un'identità;
L'equazione è impossibile. Se a = 0 ma b è diverso da zero, si ottiene un'equazione del tipo 0x = b che non è verificata per alcun valore dell'incognita x perché non esiste alcun numero che moltiplicato per zero dia un numero diverso da zero.

Esempio

16 = 3 (x - 1) - (x - 7)

si tratta di un'equazione di primo grado numerica intera; per risolverla innanzitutto eseguiamo i calcoli proposti

16 = 3x - 3 - x + 7

Applichiamo il primo principio di equivalenza e spostiamo i termini contenenti l'incognita nel primo membro e i termini noti nel secondo membro RICORDANDO DI CAMBIARE IL SEGNO AI TERMINI CHE VENGONO SPOSTATI

-3x + x= - 16 - 3 + 7

Sommiamo ora i termini simili

-2x = -12

Applichiamo il secondo principio di equivalenza per eliminare il coefficiente di x, quindi dividiamo entrambi i membri per -2

Semplifichiamo e troviamo il risultato x = 6

2) Equazioni di primo grado frazionarie

Le equazioni di primo grado frazionarie sono equazioni in cui l'incognita compare a denominatore; queste equazioni richiedono passaggi e attenzione maggiore rispetto a quelle numeriche.
I problemi derivano dalla presenza di denominatori di cui non si conosce il valore. Sappiamo che una frazione del tipo

esiste solo se b (denominatore) è diverso da zero.
Innanzitutto, quindi, prima di procedere con i calcoli, si devono individuare tutti i valori che fanno perdere significato all'equazione, ossia tutti i numeri che, sostituiti all'incognita, annullano i denominatori. Tali valori dovranno venire esclusi dalle soluzioni dell'equazione.
L'insieme dei numeri da escludere definisce le condizioni di accettabilità delle soluzioni (C.A.) (spesso dette anche condizioni di esistenza).
Dopo aver studiato le condizioni di accettabilità si procede come segue:

Si calcola il denominatore comune (m.c.m. tra i denominatori) tra le frazioni dell'equazione, allo scopo di eliminare i denominatori e trasformare l'equazione frazionaria in intera;
si eseguono i calcoli, applicando i principi di equivalenza delle equazioni;
una volta trovata la soluzione, questa deve essere confrontata con le condizioni di accettabilità: la soluzione deve essere scartata se coincide con uno dei valori trovati nelle condizioni suddette.

NOTA DEL PROFESSORE
Una equazione di primo grado frazionaria non si conclude con la soluzione ma solo dopo aver confrontato quest'ultima con le C.A.. Per cui è meglio scrivere “ACCETTABILE” o “NON ACCETTABILE” di seguito alla soluzione.

Esempio (condizioni di accettabilità):

Studiamo le condizioni di accettabilità (C.A.) dell'equazione frazionaria di primo grado

Consideriamo l'unico denominatore presente: x – 2. Esso si annulla per x = 2, quindi nelle condizioni di accettabilità dobbiamo scrivere, con linguaggio matematico, che accettiamo tutti i valori tranne 2:

C. A.: x ≠ 2

NOTA DEL PROFESSORE
Per trovare velocemente i valori da inserire nelle C. A. si possono considerare tutti i denominatori presenti, porli, uno per volta, diversi da zero (≠0) e risolvere le piccole equazioni di primo grado con i metodi studiati.
Esempio:
data l'equazione
le C.A. si trovano ponendo: